Natürliche Zahlen Ausgangspunkt des Zahlenaufbaus sollten die natürlichen Zahlen sein. Sie werden auch positive ganze Zahlen genannt. Mit ihnen wird man bereits in der frühen Kindheit vertraut, anfangs noch als Teil der Sprache (vgl. Sprachentwicklung / Spracherwerb bzw. Sprachgeschichte) - Zahlen sind Formen von Sprache und Denken -, deshalb sollte auch jede zu Ende gedachte Mathematik wieder zu einer Lingusitik werden. Die natürlichen Zahlen sind wie geschaffen für das „Abzählen“ und bezeichnen die „Anzahlen“ von Dingen bzw. von dem, was „ist“. Insofern sind sie also in unserer Begriffswelt unmittelbar anwesend (zumindest dann, wenn sie „klein“ genug sind) und bedürfen eigentlich keiner Begründung.Die Mengenlehre begreift die natürlichen Zahlen als Äquivalenzklassen bzw. Kardinalzahlen endlicher Mengen. Da selbst im Elementarunterricht die Zahlen als Mengen aufgefaßt werden, verwenden wir die dort übliche Schreibweise.Die Menge |N der natürlicheen Zahlen wird dann wie folgt angegeben:|N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Dies ist eine unendliche Menge, d.h. es gibt keine „größte natürliche Zahl“, man kann nur zu jeder vorgegebenen beleibig viele noch größere finden.

Ganze Zahlen Zu den ganzen Zahlen zählen zusätzlich die negativen Zahlen und die Null, also nicht nur positiven ganzen Zahlen (die natürlichen Zahlen), sondern auch die negativen ganzen Zahlen und die Null. Wenn man nämlich fordert, daß z.B. eine Subtraktion mit natürlichen Zahlen immer durchführbar sein soll, dann muß man neue Zahlen einführen, die dieser Forderung gerecht werden. Diese neuen Zahlen heißen negativ, man kennezeichnet sie mit einem Minuszeichen. Damit wird z.B. 8 - 11 = -3. Negative Zahlen haben im täglichen Leben viele Entsprechungen. In der Buchhaltung nennt man sie Fehlbeträge, im Bankwesen Soll oder Schulden (bzw. Fremdkapital), in der Temperaturmessung Kältegrade oder Minusgrade u.s.w., und als Spezialfall gibt es noch die Möglichkeit, daß eine Zahl weder postiv noch negativ ist: Null. Die Null kennzeichnet so das „Nichtvorhandensein“ z.B. irgendeines Betrages. Die Mengen der natürlichen Zahlen und der negativen Zahlen zugleich der Null vereinigt man in dem Begriff der ganzen Zahlen:|Z = {0, +1, -1, +2, -2 +3, -3, +4, -4, +5, -5, ...}. Zum Unterschied von den negativen Zahlen nennt man die natürlichen Zahlen jetzt positive ganze Zahlen und kennzeichnet sie mit einem Pluszeichen. Jede positive ganze Zahl hat ihr negatives Gegenstück, nur die Null ist ihr eigenes.

Rationale Zahlen Die Forderung, der Divison für beliebige Paare von ganzen Zahlen einen Sinn zu geben, kann nur durch eine nochmalige Erweiterung des Zahlenbereichs erfüllt werden (wenigstens bis auf eine Ausnahme). Die neu einzuführenden Zahlen sind die Brüche, geschrieben als (a/b; „a“ durch „b“) . Der Bruchstrich hat zwar die Funktion des Divisonszeichens (:), aber der Bruch wird als eine Zahl aufgefaßt, nämlich als „der b-te Teil“ von „a“. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler, die unter dem Bruchstrich Nenner (gleichbedeutend mit Dividend bzw. Divisor). Man unterscheidet echte Brüche und unechte Brüche; bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner. Unechte Brüche lassen sich stets in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch verwandeln. Unter den echten Brüchen nehmen die Stammbrüche eine Sonderstellung ein: sie haben die Zahl 1 zum Zähler und sind positiv. Die Menge der Stammbrüche lautet also {1/2; 1/3; 1/4; 1/5; ...}. Die vorhin erwähnte Ausnahme besteht darin, daß eine Division durch Null nicht definierbar ist, d.h. daß die Null als Nenner nicht vorkommen darf. Jeder Bruch läßt sich durch Kürzen auf eine Form bringen, bei der Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren außer 1 besitzen. Wenn dies erreicht ist, nennt man den Bruch eine rationale Zahl. Er repräsentiert dann eine Klasse von Brüchen mit demselben Wert.Beispiele: 2/3 ist eine rationale Zahl, die für {2/3; 4/6; 6/9; 8/12; ...} steht; 5/1 ist eine rationale Zahl, die für {5/1; 10/2; 15/3; 20/4; ...} steht u.s.w.. Die Menge aller rationalen Zahlen enthält also die der ganzen Zahlen als Teilmenge.Von den bisher besprochenen gemeinen Brüchen zu unterscheiden sind die Dezimalbrüche. Sie sind stets Summen von Brüchen mit Zehnerpotenzen als Nenner.Beispiel: 0,3174 = 3/10 + 1/100 + 7/1000 + 4/10000 = 3174/10000.|Q ist die Menge der rationalen Zahlen. |Q ist ein „Körper“, d.h. (im Sinne der Mengenlehre): eine Menge, in der man die vier Grundrechenarten (allgemeiner: zwei Verknüpfungen samt ihren Umkehrungen) uneingeschränkt ausführen darf, mit Ausnahme der Divison durch Null.

Irrationale Zahlen Der Ausdruck liefert eine irrationale Zahl, weil er - z.B. über das Beweisverfahren - keine rationale Zahl liefert. Soll man also das Potenzieren bzw. Radizieren mit beliebigen rationalen Zahlen (im Exponenten) durchführen können, ist es notwendig, neue Zahlen einzuführen. Sie heißen (eben: weil sie nicht rational sind): irrationale Zahlen. Zur Darstellung irrationaler Zahlen eignen sich Dezimalbrüche besser als gemeine Brüche. Jede irrationale Zahl ist ein unendlicher Dezimalbruch, hat aber im Gegensatz zu rationalen Zahlen keine Periode. Durch „Probieren“ kann man beliebig viele Stellen einer Wurzel finden, beispielsweise:  = 1,41421356.... Selbstverständlich gibt es zweckmäßigere Verfahren als das „Probieren“ (z.B. die Intervallschachtelung oder die Reihenentwicklung), aber sie ändern nichts am Ergebnis. Es läßt sich zeigen, daß alle nicht aufgehenden Wurzelausdrücke, Summen oder Produkte von Wurzeln und ganzen oder rationalen Zahlen irrational sind. Außerdem weiß man, daß man beliebige derartige Ausdrücke als Lösungen von „algebraischen“ Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten betrachten kann. Irrationalzahlen dieser Art heißen daher algebraisch irrational. Nun gibt es aber noch andere nichtperiodisch unendliche Dezimalbrüche, die nicht zu dieser Art gehören. Beispielsweise stellt sich heraus, daß sämtliche nicht ganzzahligen Logarithmen zwar irrational, aber nicht algebraisch irrational sind. Auch die Kreiszahl p (p = 3,14159265...) und die Eulersche Zahl e (e = 2,71828182...) sind solche Irrationalzahlen; man nennt sie transzendent irrational.

Reelle Zahlen Die Menge |R der reellen Zahlen ergibt sich aus der Gesamtheit aller Irrationalzahlen vereinigt mit den Rationalzahlen. |R ist wie |Q ein „Körper“. In den Bezeichnungen der Mengenelehre gilt: |N |Z |Q |R (das liest sich so: |N ist Teilmenge von |Z, |Z ist Teilmenge von |Q, |Q ist Teilmenge von |R). Die rellen Zahlen haben eine gemeinsame Eigenschaft, die noch nicht erwähnt wurde: wenn zwei beliebige relle Zahlen a und b gegeben sind, läßt sich immer feststellen, welche von beiden größer ist oder ob beide gleich sind; es gibt für a und b nur diese drei Möglichkeiten:. a ist größer als b (a > b), a ist kleiner als b (a < b), a ist gleich b (a = b). Außerdem gilt für a > b (bzw. a < b) und b > c (bzw. b < c) sozusagen „erst recht“: a > c (bzw. a < c). So selbstverständlich diese Aussage scheinen mag, sie hat eine wichtige Konsequenz: jede vorgegebene Anzahl von reellen Zahlen läßt sich „anordnen“, d.h. hier der Größe nach ordnen.

Imaginäre Zahlen Trotz der Einführung der Irrationalzahlen sind zum Potenzieren immer noch nicht alle Zahlen zugelassen. Beispielsweise entspricht die Potenz weder einer rationalen noch einer irrationalen Zahl. Es gibt eben überhaupt keine reelle Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist. Das liegt einfach daran, daß das Quadrat jeder reellen Zahl (ob positiv oder negativ) immer positiv ist. Jede andere Definition würde Widersprüche hervorrufen. Wenn man daher den Zahlenbereich so erweitern möchte, daß er die geraden Wurzeln aus negativen reellen Zahlen ebenfalls enthält, dann muß man gleichzeitig die Multiplikationsvorschrift ändern. Dies muß aber so geschehen, daß die bisherigen „normalen“ Multiplikationen (und alle anderen Rechenarten) unveränderte Ergebnisse zeigen. Eine besondere Rolle spielt bei der Einführung dieser neuen Zahl die Wurzel aus (-1). Es stellt sich nämlich heraus, daß es bereits gelingt, für eine widerspruchsfreie Definition zu finden, denn zusammen mit den bisher gültigen Rechengesetzen (-a = (-1) · a) sind dann auch alle anderen Wurzeln erklärt. Der einfachste Versuch besteht darin, für einfach ein neues Symbol zu setzen. Man nahm = i (von imaginär, weil man sich nichts darunter vorstellen konnte), und tatsächlich kann man mit imaginären Größen genauso rechnen wie mit reellen, ohne in Widerspruch zu geraten. Die einzige Änderung gegenüber normalen Rechenarten ist die „erweiterte Multiplikationsregel“:i · i = i² = -1.Die Menge aller imaginären Zahlen wird einfach dadurch erzeugt, daß man die rellen Zahlen mit i, der imaginären Einheit, multipliziert, z.B. 2i; 24i; -8i; 162i u.s.w.. Natürlich kann man eine Summe aus einer reellen und einer imaginären Zahl, z.B. 1 + i, nicht ausführen, immer aber lassen sich beliebige Summen von imaginären und reellen Zahlen durch Zusammenfassen der gleichartigen Glieder auf die Form a + i · b bringen, wobei a und b für reelle Zahlen stehen. Ausdrücke wie a + ib muß man deshalb als Ganzes betrachten. Man nennt sie komplex.

Komplexe Zahlen Jede komplexe Zahl „besteht“ aus zwei Komponenten: in a + b heißt a der Realteil, b der Imaginärteil. Die Menge |K der komplexen Zahlen ist wie |R und |Q ein „Körper“. Beispiele: 3 + 2i; 8 - 3i; -4 + 5i; -1 -3i. Der Ausdruck „imaginär“ hat etwas Unfaßbares, Unbegreifliches an sich, was für Laien wie für Mathematiker oft Denkschwierigkeiten verursacht. Wie soll es Zahlen geben, die man sich nicht vorstellen kann?  Dabei ist es sehr einfach, ohne das ominöse „i“ auszukommen, und eine modernere, wenn auch unpraktische Definition geht diesen Weg: Eine komplexe Zahl wird in dieser Ausdrucksweise definiert als ein Zahlenpaar (a; b) mit einer ersten Koordinate (a) und einer zweiten Koordinate (b). Die erste Kordiante heißt Realteil, die zweite Imaginärteil, aber jetzt sind diese Bezeichnungen lediglich Namen, die der Tradition wegen bestehen, aber keinen tieferen Sinn mehr haben.Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen

Gauß'sche Zahlenebene als geometrische Darstellung der komplexen Zahlen

Wenn die Menge der Punkte einer Geraden der Menge der reellen Zahlen zugeordnet werden kann, dann können die imaginären Zahlen nicht auch noch auf dieser Geraden liegen. Diesen Schluß zog schon Carl Friedrich Gauß (1777-1855); er erdachte eine Darstellung in einer Ebene, die noch heute unverändert verwendet wird (Gauß'sche Zahlenebene). Es handelt sich um ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem, dessen Abzisse den reellen Zahlen und dessen Ordinate den imaginären Zahlen zugeordnet wird. Die komplexen Zahlen überdecken dann die gesamte Ebene (siehe Abbildung). Anwendung komplexer Zahlen Man könnte zunächst meinen, komplexe Zahlen seien nur für die Mathematik wichtig und auch dort nur für die „höheren Probleme“. Doch diese Meinung entspricht überhaupt nicht der Wirklichkeit, denn selbst einfache mathematische Probleme werden in komplexer Schreibweise nicht nur übersichtlicher, sondern oftmals erst lösbar (z.B. das Rechnen mit Winkelfunktionen oder die Berechnung der Kreiszahl). Darüber hinaus sind komplexe Zahlen in der gesamten Naturwissenschaft schlechterdings unentbehrlich. Die moderne Physik ist ohne komplexe Zahlen überhaupt nicht denkbar. Aber selbst in der technischen Welt, vor allem in der Elektronik, kommt man ohne sie nicht aus. Jeder Schaltplan eines Fernsehers wird komplex berechnet. Antennen und Kabel ebenfalls. Das liegt daran, daß sich Schwingungsvorgänge aller Art besonders einfach komplex beschreiben lassen. (Das mag sich paradox anhören, ist aber wirklich einfacher!). Dabei entspricht der Amplitude samt ihrer Dämpfung der Imaginärteil der Frequenz und der Phase einer Welle. Allerdings verwenden die Elektrotechniker statt des „i“ der Mathematik das Symbol „j“, was aber unwesentlich ist.

Zahlensysteme